基础数学示例

$\frac{a^{2} + 7 a + 12}{a^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 7 a + 12}{a^{2} - 16}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{a^{2} + 7 a + 12}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $a^{2} + 7 a + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{a^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 4

约去 $a + 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} - 4^{2}}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a^{2} - 7 a + 12}$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $a^{2} - 7 a + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 7$ 。

$- 4, - 3$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 4) (a - 3)}$

解题步骤 7

约去 $a - 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 4) (a - 3)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a + 4}{a - 3}$

解题步骤 8

乘以 $\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a + 4}{a - 3}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{a + 4}{a - 3}$ 乘以 $\frac{a + 4}{a - 3}$ 。

$\frac{(a + 4) (a + 4)}{(a - 3) (a - 3)}$

解题步骤 8.2

对 $a + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(a + 4)}^{1} (a + 4)}{(a - 3) (a - 3)}$

解题步骤 8.3

对 $a + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(a + 4)}^{1} {(a + 4)}^{1}}{(a - 3) (a - 3)}$

解题步骤 8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(a + 4)}^{1 + 1}}{(a - 3) (a - 3)}$

解题步骤 8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{(a - 3) (a - 3)}$

解题步骤 8.6

对 $a - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{1} (a - 3)}$

解题步骤 8.7

对 $a - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{1} {(a - 3)}^{1}}$

解题步骤 8.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{2}}$

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